2025高考热点题型与考点专练 三角函数与解三角形 Word版含答案

【典例1】(13分)(规范解答)(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a²+b²-c²=ab.

(1)求B;

(2)若△ABC的面积为3+,求c.

【审题思维】 

(1)利用余弦定理结合a²+b²-c²=ab,求得C,再由sin C=cos B算出cos B,结合B∈(0,π),可得角B的大小;

(2)设△ABC的外接圆半径为R,由△ABC的面积为3+,建立关于R的方程,解出R的值,进而利用正弦定理算出边c的值.

【解析】(1)因为a²+b²-c²=ab,所以cos C===,结合C为三角形的内角,可得C=. …………3分

因为sin C=cos B=,所以cos B=,结合B∈(0,π),得B=; ……6分

(2)由(1)可知A=π-B-C=,设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理得b=2Rsin B=R,c=2Rsin C=R, …………9分

由S_△ABC=bcsin A=3+,得·R·R·sin =3+, ……11分

即·=3+,解得R²=4,所以R=2(舍负),可得c=R=2. ……13分

【题后反思】

本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式及其应用.

(1)若条件式中含有角的余弦或边的二次式,常选择使用余弦定理,若条件式中含有角的正弦或边的一次式,常选择使用正弦定理.

(2)要根据已知条件灵活选用三角形的面积公式.

【典例2】(2024·盐城模拟)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin²+bsin²=.

(1)求角C的大小;

(2)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围.

【审题思维】 

(1)由二倍角的正弦和余弦公式,结合余弦定理将角转化为边,可将式子变形为a²+b²-c²=ab,再利用余弦定理求解;

(2)利用正弦定理将边转化为角,再结合三角恒等变换可得=2sin(A+),根据锐角三角形可得A的取值范围,结合三角函数的图象和性质求解.

【解析】(1)在△ABC中,asin²+bsin²=+=-

=-(acos B+bcos A)=-(a×+b×)=,

因为asin²+bsin²=,所以=,

化简得a²+b²-c²=ab,由余弦定理得cos C==,

又C∈(0,π),所以C=;

(2)由正弦定理知===(sin A+cos A+sin A)

=(sin A+cos A)

=2(sin A+cos A)=2sin(A+),

由△ABC为锐角三角形可知,而C=,

所以,

得<A<,所以<A+<,

所以<sin(A+)≤1,

即<2sin(A+)≤2,

则的取值范围为.

【题后反思】

本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换公式及其应用.

(1)三角函数变形的三个统一原则:统一角的大小,统一函数名称,统一结构形式.

(2)解三角形中的最值或范围问题常用的方法:基本不等式法与三角函数性质法.