2025高考热点题型与考点专练 数列求和及等差、等比数列的综合应用 Word版含答案

【典例1】(13分)(规范解答)(2024·全国甲卷)已知数列{a_n}的前n项和为S_n,且4S_n=3a_n+4.

(1)求{a_n}的通项公式;

(2)设b_n=(-1)^n-1na_n,求数列{b_n}的前n项和T_n.

【审题思维】 

(1)由已知递推关系进行转化,然后结合等比数列的通项公式即可求解;

(2)先求出b_n,然后结合错位相减法求解.

【解析】(1)因为4S_n=3a_n+4,所以4S_n+1=3a_n+1+4,两式相减可得4a_n+1=3a_n+1-3a_n, ……3分

即a_n+1=-3a_n,又因为4S₁=3a₁+4,

所以a₁=4,故数列{a_n}是首项为4,公比为-3的等比数列,所以a_n=4·(-3)^n-1; …6分

(2)b_n=(-1)^n-1na_n=4n·3^n-1, ……8分

所以T_n=4(1·3⁰+2·3¹+3·3²+…+n·3^n-1),3T_n=4(1·3¹+2·3²+3·3³+…+n·3ⁿ), ……10分

两式相减可得:-2T_n=4(1+3¹+3²+…+3^n-1-n·3ⁿ)=4(-n·3ⁿ)=(2-4n)3ⁿ-2,

所以T_n=(2n-1)3ⁿ+1. ……13分

【题后反思】

本题考查由递推关系求数列的通项公式、错位相减法的应用,解题时谨防两个易错点:

(1)由S_n求a_n,注意对n=1时对应的首项的检验;

(2)利用错位相减法求解时,不要弄错项数.

【典例2】(2024·泉州二模)已知数列{a_n}和{b_n}的各项均为正,且a₃=18b₁,{b_n}是公比为3的等比数列.数列{a_n}的前n项和S_n满足4S_n=+2a_n.

(1)求数列{a_n},{b_n}的通项公式;

(2)设c_n=+a_ncos nπ,求数列{c_n}的前n项和T_n.

【审题思维】 

(1)利用递推公式可证得数列{a_n}是等差数列,可求出数列{a_n}的通项公式;利用等比数列的性质,可求出{b_n}的通项公式;

(2)求出c_n,根据裂项相消法和分组求和法求T_n.

【解析】(1)由题设,当n=1时,4S₁=+2a₁,所以a₁=2或a₁=0(舍),

由4S_n=+2a_n,知4S_n-1=+2a_n-1,两式相减得(a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1-2)=0,所以a_n+a_n-1=0(舍)或a_n-a_n-1-2=0,即a_n-a_n-1=2,

所以数列{a_n}是首项为2,公差为2的等差数列,所以a_n=2n.又a₃=18b₁=6,所以b₁=,所以b_n=3^n-2.

(2)c_n=+a_ncos nπ=+(-1)ⁿ2n=+(-1)ⁿ2n

=(-)+(-1)ⁿ2n,

则T_n=[(-)+(-)+…+(-) ]+2([(-1+2)+(-3+4)+…+(-1)ⁿn],

当n为偶数时,T_n=(-)+n;

当n为奇数时,T_n=(-)-(n+1)=--n-.

所以T_n=请选择下载